Pohyb
29. Červenec 2013Řešení příkladů z Feynmanových přednášek
Konečně osmá kapitola prvního dílu. Jak nadpis napovídá, dozvíme se něco o pohybu. Píše se o rychlosti, zrychlení, atd. a zjistíme co to vůbec taková rychlost je a jak je složité ji popsat a jaké s tím měli potíže i staří Řekové, Arabové a Babyloňané.
Úloha 8.1
Těleso se pohybuje po přímce se stálým zrychlením $ a $. V okmažiku $ t=0 $ je v bodě o souřadnici $ x=x_0 $ a $ v=v_{x_0} $. Ukažte, že v okamžiku $ t $ budou souřadnice a rychlost tělesa dány vztahy, $ x(t) = x_0 + v_{x_0} t + {1 \over 2} a t^2 $, $ v_x(t) = v_{x_0} + a t $.
Mé řešení:
V zadání je psané, že je zrychlení a konstantní. Také víme, že $ a={{d v}\over{d t}} $,a proto po zintegrování dostaneme hledané vztahy.
Úloha 8.2
Vylučte čas ze vzorců odvozených v předchozí úloze a ukažte, že v každém okamžiku platí rovnost $ v_x^2 = v_{x_0}^2 + 2 a (x - x_0) $.
Mé řešení:
Z rovnice $ v_x(t) = v_{x_0} + a t $ vyjádříme $ t $ jako $ t = {v_x - v_0 \over a} $ a dosadíme do druhé rovnice. $$ x=x_0+{v_{x_0} (v_x - v_{x_0}) \over a}+{1 \over 2} a\left({x - x_{x_0} \over a }\right)^2 \enspace, \quad 2 a (x-x_0)=2 v_{x_0} v_x - 2 v_{x_0}^2 + v_x^2 - 2 v_{x_0} v_x + v_{x_0}^2 $$
Úloha 8.3
Zobecněte výsledky obou předchozích úloh na případ trojrozměrného pohybu se stálým zrychlením , jehož průněty na osy souřadnic jsou $ a_x $, $ a_y $ a $ a_z $.
Mé řešení:
Samozřejmě vše bude platit stejně a obecná rovnice z předchozí úlohy nabyde tvaru $$ v^2 = v_0^2 + 2[a_x(x-x_0)+a_y(y-y_0)+a_z(z-z_0)] $$ A to je prostý součet rovnic, které jsme získali předtím.
Úloha 8.4
Z děla na povrchu Země byl vystřelen náboj s počáteční rychlostí v pod úhlem θ k obzoru. Vypočítejte vzdálenost, kterou náboj uletí, a největší výšku, jíž dosáhne. Odpor vzduchu zanedbejte.
Mé řešení:
Nakreslíme-li si obrázek se souřadnicemi $ x $, $ y $ a zamyslíme se, přijdeme na to, že pro souřadnici $ x $ platí $ x=v_0 t \cos \theta $ a pro $ y $ $ y=v_0 t \sin \theta - {1 \over 2} g t^2 $. Nyní si představíme, že onen náboj dopadl a souřadnice $ x=k $ ($ k $ jako konec) a $ y=0 $, tedy $ v_0 t \sin \theta - {1 \over 2} g t^2=0 $. Z toho vyjádříme $ t $ jako $ t={2 v_0 \sin \alpha \over g} $ a dosadíme-li $ t $ do rovnice $ x=v_0 t \cos \theta $, vypadne nám $$ x={v_0^2 \sin 2 \theta \over g} $$, což je ona vzdálenost. Pro zjištění maximální výšky náboje si musíme uvědomit, že změna rychlosti $ v_y $ je rovna $ v_0 t \sin \theta $ a její změna v čase je $$ g={2 v_0 t \sin \theta \over t} $$Z toho vyjádříme $ t $ a dosadíme do rovnice. $$ h=v_0 {t \over 2} \sin \theta - {1 \over 2} g \left({ t \over 2}\right)^2 ={ v_0^2 \sin^2 \theta \over 2 g} $$
Úloha 8.5
Pod jakým úhlem k obzoru musíme nastavit hlaveň děla, aby náboj dosáhl největší možné vzdálenosti?
Mé řešení:
Z $ x={v_0^2 \sin 2 \theta \over g} $ je jasné, že úhel musí být 45°.
Úloha 8.6
Americký automobilista začátečník, dosud nepříliš silný v dopravních předpisech, byl při vyjezdu z města pokutován za překročení rychlosti, Když pak na přímém úseku dálnice uviděl plakát s nápisem „Zkontrolujte si svůj tachometr“, rozhodl se řídit se touto radou. V okamžiku, kdy míjel nulovou čáru na povrchu vozovky, šlápl na plyn a snažil se udržovat vůz v pohybu se stálým zrychlením. Za 16 sekund míjel sloupek s označením „0,1 míle“, za dalších 8 sekund značku „0,2 míle“.
- Jakou rychlost měl v tomto okamžiku ukazovat jeho tachometr?
- S jakým zrychlením se automobil pohyboval? Americká míle je 1 609 m.
Mé řešení:
Označíme si úsek od čáry ke sloupku jako $ s_1 $ a dobu potřebnou k jeho zdolání jako $ t_1 $. Úsek od sloupku ke značce $ s_2 $ a dobu $ t_2 $. Z rovnice $ s_1 = v_0 t_1 + {1 \over 2} a t_1^2 $ vyjádříme zrychlení a to osadíme do rovnice $ s_2 = v_0 t_2 + {1 \over 2} a t_2^2 $. Upravíme a vyjádříme $ v_0 $. Dostaneme výsledek 3,35 m/s. Pro zjištění zrychlení dosadíme do $ s_2 = v_0 t_2 + {1 \over 2} a t_2^2 $ rychlost $ v_0 = {s_1 \over t_1} - {a t_1 \over 2 } $. Z toho vyjde $ a $ rovno 0,84 m/s.
Úloha 8.7
Raketa vypuštěná vertikálně vzhůru se po celých 50 sekund chodu motorů pohybovala se zrychlením $ 2g $.
- Nakreslete graf závislosti rychlosti rakety na čase po celou dobu letu.
- Určete maximální výšku, které raketa dosáhne.
- Vypočítejte celkovou dobu letu od vypuštění do návratu na zem.
Odpor vzduchu a změnu tíhového zrychlení zanedbejte.
Mé řešení:
- Křivka grafííku bude nejprve strmě stoupat, pak bude klesat až do momentu, kdy se raketa zastaví. Pak se bude sesouvat zpět k zemi a rychlost bude opět růst.
- Výšku, jíž raketa dosáhne spočteme $$ s={1 \over 2} 2 g t^2 + {v^2 \over 2 g} = 73 500 m $$První člen vyjadřuje zrychlený pohyb oné rakety a druhý člen setrvávání v pohybu vzhůru po vypnutí motorů. Dostaneme jej z rovnice $ s=v_0 t - {1 \over 2} g t^2 ={ v_0^2 \over 2g} $, protože samozřejmě platí $ t={v_0 \over g} $.
- Celkový čas je pak $$ T=t + {2 g t \over g} + \sqrt{{2s \over g}} = 3 t + \sqrt{{2s \over g}} = 272s $$
Úloha 8.8
Na dlouhém vodorovném úseku zkušebního polygonu se testují raketové a letecké reaktivní motory. Podvozek s raketovým motorem startoval z klidu, až do vyhoření paliva se pohyboval se stálým zrychlením, a pak pokračoval v pohybu stálou rychlostí. Palivo mu došlo přesně v polovině měřené vzdálenosti. Při dalším testu se na téže trati pohyboval podvozek s leteckým reaktivním motorem a urazil celou dráhu se stálým zrychlením, a to za stejnou dobu. Čemu je roven poměr zrychlení obou testovaných souprav?
Mé řešení:
Celkovou dobu jízdy leteckého a raketového motoru označíme $ t $. Dobu zrychlování raketového motoru označíme $ t_1 $ a dobu setrvávání $ t_2 $. Pak platí $ t = t_1 + t_2 $. Z rovnic pro dráhy motorů – $ s={1 \over 2} a_1 t^2 $, $ {s \over 2}={1 \over 2} a_2 t_1^2 $ a $ {s \over 2}= a_2 t_1 t_2 $ – vyjádříme čas jako $$ t=\sqrt{{2s \over a_2}} \enspace, \quad t_1=\sqrt{{s \over a_1}} \enspace, \quad t_2=\sqrt{{s \over 4 a_1}} $$To dosadíme do rovnice s časy a dostaneme $$ t=\sqrt{{2s \over a_2}} = t_1=\sqrt{{s \over a_1}} + t_2=\sqrt{{s \over 4 a_1}} \enspace, \quad {a_1 \over a_2} = {9 \over 4} $$ Což je výsledek!
Úloha 8.9
Minomet je umístěn ve vzdálenosti 8 100 m od svislého srázu výšky 105 m (viz obrázek). Střelba z minometu má zasáhnout cíle skryté pod srázem. Jak blízko k úpatí srázu dosáhnou miny, je-li jejich počáteční rychlost 300 m/s?
Mé řešení:
Úhel, pod kterým bude střela padat od hrany srázu je stejný jako úhel, pod nímž byla vystřelena, tedy $ \theta $ a lze ji vyjádřit jako $ \sin(2\theta)={Xg \over v^2}=59° $, kde $ X $ je vzdálenost minometu od hrany. Proto bude platit, že vzdálenost $ x $ (hledaná hodnota) a $ y $ (výška srázu) budou $ x=\cos \theta v t $ a $ y=\sin \theta v t + {1 \over 2} g t^2 $. A teď potřebujeme z rovnice pro $ y $ vyjádřit čas, po který bude střela padat od hrany na zem. Řešením kvadratické rovnice zjistíme, že čas $ t = 0,41 s $. Dosazením vyjádřeného času do rovnice pro $ x $ dostaneme $$ x=v\cos\theta \sqrt{ \left({v \over g} \sin \theta \right)^2+{2y \over g}} - {v^2 \sin \theta \cos \theta \over g} = {v^2 \over g} \cos \theta \left( \sqrt{\sin^2 \theta + {2 y g \over v^2}} - \sin \theta \right) = 62,6 m $$
Úloha 8.10
Velikost úhlu, jehož vrchol leží ve středu kružnice poloměru $ R $, můžeme měřit jako poměr délky oblouku $ s $, který vytíná na kružnici, a jejího poloměru: $ \theta = {s \over R} rad $.
- Ukažte, že pro úhly $ \theta \ll 1 rad $ platí $ \sin \theta \approx \theta $, $ \cos \theta \approx 1 $ .
- Pomocí tohoto výsledku a vzorců pro sinus a kosinus součtu dvou úhlů najděte derivace funkcí sinus a kosinus z definice $$ {dy \over dx} = \lim_{\Delta x \to 0} { y(x + \Delta x) - y(x) \over \Delta x } $$
Mé řešení:
- To ukázat neumím.
- Dosadíme-li do výše zmíněné rovnice funkci sinus (kosinus) a použijeme-li součtový vzorec $ \sin(\theta+\Delta \theta) = \sin(\theta) \sin(\Delta \theta) + \cos(\theta) \cos(\Delta \theta) $ ($ \cos(\theta+\Delta \theta) = \cos(\theta) \cos(\Delta \theta) + \sin(\theta) \sin(\Delta \theta) $), dostaneme $$ {d \sin \over d x} = \lim_{\Delta x \to 0}{\sin(x+\Delta x) - \sin(x) \over \Delta x} = \cos(x) $$ Derivace funkce sinus je tedy $ \cos(x) $ a derivace kosinu je $ -\sin(x) $.
Úloha 8.11
Těleso se pohybuje po kružnici poloměru $ R $ proti směru hodinových ručiček stálou rychlostí $ v $. Střed kružnice je v počátku pravúhlé soustavy souřadnic $ (x,y) $ a v okamžiku $ t=0 $ je těleso v bodě o souřadnicích $ (R,0) $.
- Najděte $ x, y, v_x, v_y, a_x, a_y $ jako funkce času.
- Ukažte, že $ ẍ+\omega^2 x =0 $ a $ ÿ + \omega^2 y = 0 $, kde $ \omega={v \over R} $. Tečka nad písmenem znamená derivaci podle času.
Mé řešení:
- Stačí vyjádřit $ x $ a $ y $ jako funkce času a pak už jen derivovat. Takže $ x=R \cos \omega t $, $ y=R \sin \omega t $, $ v_x=-R \omega \sin \omega t $, $ v_y=R \omega \cos \omega t $, $ a_x=-R \omega^2 \cos \omega t $, $ a_y=-R \omega^2 \sin \omega t $.
- Nevím, co by se na tom mělo ukazovat, ony dvě rovnice plynou z těch v prvním bodě.
Úloha 8.12
Malý kamínek uvázl ve vzorku pneumatiky automobilového kola poloměru R. Kolo se valí bez prokluzování po vodorovné dráze stálou rychlostí v. Vyjádřete souřadnice kamínku x a y jako funkce času, jestliže se v okamžikukamínek dotýkal země. Určete také, jak závisejí kartézské souřadnice rychlosti a zrychlení na čase.
Mé řešení:
Nejprve si zhotovme názorný obrázek otáčení pneumatiky, na kterém bude zřejmá změna polohy kamínku v osách $ x $ a $ y $. Úhel $ \phi $ o který se pneumatika otočí za časový úsek bude $ \phi = \omega t $. Souřadnice kamínku pak lze vyjádřit jako $ x=v t - R \sin(\omega t) $ a $ y = R - R \cos(\omega t) $. Rychlosti a zrychlení budou pouhou první a druhou derivací těchto rovnicí.
Tweet
Komentáře k článku
Článek bohužel ještě nemá žádné komentáře.