Pravděpodobnost
12. Květen 2013Řešení příkladů z Feynmanových přednášek
V první knize šestá kapitola. Dozvíme nové zajímavé věci o náhodné procházce, fluktuacích, rozložení pravděpodobnosti a o Heisenbergově zákonu neurčitosti. Jsou zde pouze tři úlohy. Pokuď se chystáte přečíst si řešení třetí z nich, doporučuji nejdřív na wikipedii projít pojmy, kterým nerozumíte, pak se vám objeví řešení.
Úloha 6.1
"Molekula vzduchu" se při teplotě $ 25 °C $ a tlaku $ 100 kPa $ pohybuje průměrnou rychlostí $ 450 m/s $. Přitom stačí mezi dvěma po sobě následujícími srážkami proletět $ 7 \cdot 10^{-6} cm $. Kolik času potřebuje na to, aby se vzdálila od výchozího bodu o $ 1 cm $, jestliže ve vzduchu nedochází k makroskopickému proudění?
Mé řešení:
V této kapitole jsme odhalili vztah mezi počty kroků a střední kvadratickou vzdáleností při náhodné procházce $ D_{stř}=l\sqrt{N} $, kde $ l $. Naše molekula vzduchu učiní jeden krok za $ t={l \over v} $. Známe-li počet kroků a čas, za který molekula urazí vzdálenost mezi srážkami, známe i řešení. $$ T=Nt={D^2 \over lv } \enspace, \quad T \approx 3 s $$
Úloha 6.2
Školák má v brašničce tři červené, dvě zelené a jednu bílou kuličku. Aniž by se díval, vytáhne první tři kuličky, které mu přijdou pod ruku. Jaké jsou pravděpodobnosti toho, že všechny tři kuličky budou různé barvy a že všechny tři budou stejné barvy?
Mé řešení:
Tři kuličky můžeme vybrat z brašny celkem $ {{6}\choose{3}} = 20 $ možnostmi. Kuličky různé barvy lze získat jen $ 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 $ způsoby. Pravděpodobnost, že vybereme tři různé kuličky je tedy poměrem příznivých a všech možných způsobů, což dělá $ 6/20 = 0,3 $. Pokuď vybíráme jenom červené kuličky, musíme se pokaždé trefit, existuje tedy pouze jeden způsob jak je vybrat a pravděpodobnost je $ 1/20 = 0,05 $.
Úloha 6.3
Nehybná koule o poloměru $ b $ je ostřelována proudem malých kuliček poloměru $ a $. Předpokládejme, že odraz malých kuliček je dokonale pružný a že úhel dopadu je roven úhlu odrazu. Určete poměrnou část počtu kuliček, jež se rozptylují pod různými úhly. Odvoďte výraz pro srážkový průřez rozptylu a přesvědčte se, že celkový srážkový průřez je roven očekávané veličině $ \pi (a+b)^2 $.
Mé řešení:
Nejprve je dobré zjistit, co to je srážkový průřez. Srážkový průřez je fyzikální veličina, která vyjadřuje pravděpodobnost odrazu částice z nalétávajícího svazku (koule $ a $) od terče (koule $ b $). My ale využijeme diferenciálního srážkového průřezu a určíme poměrnou část počtu kuliček, které se rozptylují pod různými úhly. Vyhledáme vztah pro diferenciální srážkový průřez. Tam figurují veličiny označené $ \rho $, což je srážkový parametr a $ \chi $, které vyjadřuje úhel rozptylu (viz obrázek). Srážkový parametr vyjádříme jako
$ \rho = (a+b) \cos {\chi \over 2} $. Nyní dosadíme do nalezlého vztahu $$ d \sigma = 2 \pi \rho \left|{d \rho \over d \chi}\right| d \chi = 2 \pi (a+b)^2 cos {\chi \over 2} \left|{1 \over 2} \left(- \sin {\chi \over 2}\right)\right| d \chi = {1 \over 2} \pi (a+b)^2 \sin \chi d \chi $$
Po zintegrování dostaneme celkový srážkový průřez v zadání.
$$ \sigma = \int_0^\pi {1 \over 2} \pi (a+b)^2 \sin \chi {d}\chi = {\pi \over 2}(a+b)^2+{\pi \over 2}(a+b)^2=\pi(a+b)^2 $$
Komentáře k článku
Článek bohužel ještě nemá žádné komentáře.