Teorie gravitace
5. Červenec 2013Řešení příkladů z Feynmanových přednášek
Cavendishův experiment
Konečně sedmá kapitola prvního dílu Feynmanových přednášek. Dozvíme se mnoho super věcí o gravitaci, drahách a chování planet, o všech třech Keplerových zákonech, Newtonově gravitačním zákoně ale také o Cavendishově experimentu , který mě obvzálšť zaujal (všechno o něm je k nalezení na anglické wikipedii). Také se Feynman zmiňuje o tom, že co nevidět přijde Einstein se svojí jinou gravitační teorií a Newton bude mít pech.
Na počátku příkladů a cvičení je páno:
Připoměňme si některé vlastnosti elipsy. Její rozměry a tvar jsou zcela určeny libovolnou dvojicí následujících veličin: velká poloosa $ a $, malá poloosa $ b $, vzdálenost středu elipsy od jednoho z ohnisek $ c $, excentrita $ e $, vzdálenost perihelia od ohniska $ r_p $, vzdálenost afelia od ohniska $ r_a $. Při tom platí
$ a^2 = b^2 + c^2 $,
$ r_p = a - c = a(1-e) $,
$ e = {c \over a} $,
$ r_a = a + c = a (1+e) $.
Úloha 7.1
Vzdálenost Měsíce od středu Země se mění od 363 300 km v perigeu do 405 500 km v apogeu a perioda oběhu Měsíce kolem Země je 27,322 dní. Umělá družice Země se pohybuje po eliptické trajektorii tak, že v perigeu se nachází 225 km nad povrchem Země a v apogeu 710 km. Střední průměr Země je 12 756 km. Určete periodu oběhu umělé družice.
Mé řešení:
Oběžnou dobu družice lehce určíme z 3. Keplerova zákona. Jediné, co potřebujeme zjistit jsou velikosti velkých poloos. Ty určíme pomoci vztahů $ r_p = a-c $ a $ r_a = a+c $. Konkrétně z rovnice $ a = {r_p + r_a \over 2} $. Oběžnou dobu družice vyjádříme jako $$ T_d = \sqrt{ \left({r_ad + r_pd \over r_am + r_pm}\right) ^3 } T_m $$ Což je zhruba 1,52 hodiny.
Úloha 7.2
Družice hmotnosti m se pohybuje po kruhové trajektorii poloměru $ R $ kolem velkého kosmického tělesa hmotnosti $ M $.
- Pomocí známého vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu $ s={1 \over 2} a t^2 $ a obrázku určete dostředivé zrychlení družice v závislosti na její obvodové rychlosti a poloměru trajektorie.
- Z Newtonovy pohybové rovnice s přitažlivou gravitační silou $ m a = \kappa { M m \over R^2 } $ pak odvoďte třetí keplerův zákon.
Mé řešení:
- Z vedlejšíjo obrázku vyvodíme rovnost $$ {x \over s} = {2R – s \over x} \approx {2R \over x} $$ Také víme, že $ x $ odpovídá dráze, kterou urazí družice ja jednotku času, pokuď na ní nepůsobí gravitační síly super velkého kosmického tělesa. Proto platí $ x=vt $. Dosadíme-li do první rovnice za $ x $, získáme: $$ {vt \over {1 \over 2} a t^2} \approx {2R \over vt} \enspace, \quad a = {v^2 \over R} $$ A to je hledané vyjádření dostředivého zrychlení.
- Z rovnice dostředivého zrychlení a z Newtonovy pohybové rovnice dostaneme $$ v^2 = \kappa { M \over R } \enspace, \quad \left({2 \pi R \over T} \right)^2 = \kappa {M \over R} \enspace, \quad T^2 = {4 \pi^2 R^3 \over \kappa M} $$
Tím jsme dostali obecné vyjádření 3. Keplerova zákona.
Úloha 7.3
- Porovnejte parametry trajektorie orbitálního pohybu Země kolem Slunce a Měsíce kolem Země a určete odtud poměr hmotností Slunce a Země.
- Jupiterův měsíc Io obíha po trajektorii poloměru 421 800 km s periodou 1,769 dne. Určete poměr hmotností Jupitera a Země.
Mé řešení:
- Využijeme vztahu objeveného v předchozí úloze a přirovnáme k sobě druhé mocniny oběžných dob Měsíce a Země.
$$ {{T_z}^2 \over {T_m}^2} = {R_{zs}^3 M_z \over M_s R_{mz}^3 } \enspace, \quad {M_s \over M_z} = {T_m^2 R_{zs}^3 \over T_z^2 R_{mz}^3} $$ Nyní si najdeme potřebné veličiny třeba na internetu a zjistíme, že poměr hmotností Slunce a Země je $ 3,33 \cdot 10^5 $. Nakonec si to ještě můžeme ověřit.
Úloha 7.4
Pohybují-li se dvě vzájemně se přitahující tělesa tak, že jejich vzdálenost R se nemění, můžeme to vysvětlit tím, že vlastně na sebe stále vzájemně padají a v důsledku toho obě obíhají kolem společného nehybného těžiště. Ukažte, že v takovém případě jejich oběžná doba závisí jen na součtu hmotností obou těles a nikoliv na jejich poměru. Platí to i pro eliptické trajektorie a můžete se pokusit to dokázat.
Mé řešení:
Zahledíme-li se do 3. Keplerova zákonu a Newtonova gravitačního zákonu, můžeme si všimnout rovností $$ \kappa {M_2 \over R^2} = {4 \pi^2 R_1^2 \over T^2} \enspace, \quad \kappa {M_1 \over R^2} = {4 \pi^2 R_2^2 \over T^2} \enspace, \quad R = R_1 + R_2 $$ Abychom z rovnic vyjádřili oběžnou dobu $ T $, která je pro obě tělesa samozřejmě stejná, obě rovnice sečteme. $$ \kappa {M_1 \over R^2} + \kappa {M_1 \over R^2} = {4 \pi^2 R_2 \over T^2} + {4 \pi^2 R_1 \over T^2} \enspace, \quad T = \sqrt {R^3 \over \kappa \left(M_1 + M_2 \right)} \cdot 2 \pi $$ V případě pohybu po elipsách, které musí mít stejnou excentritu, je výsledek podobný a dostaneme stejnou rovnici, ovšem místo vzájemné vzdálenosti $ R $ se v ní objeví součet velkých poloos $ a $.
Úloha 7.5
Dvě složky dvojhvězdy $ a $ a $ b $ obíhají jedna kolem druhé pod vlivem vzájemné gravitační přitažlivé síly. Velká poloosa trajektorie tohoto vzájemného pohybu je $ R $ astronomických jednotek a doba oběhu $ T $ roků. Najděte výraz pro poměr součtu hmotností obou složek dvojhvězdy $ m_a + m_b $ k hmotnosti Slunce.
Mé řešení:
Stačí porovnat rovnice, které získáme z předchozí úlohy a 3. Keplerova zákona $$ m_a + m_b = {4 \pi^2 R^3 \over \kappa T^2} \enspace, \quad M_S = {4 \pi^2 R_{ZS}^3 \over \kappa T_Z^2} $$ $$ {m_a + m_b \over M_S} = \left( R \over R_{ZS} \right)^3 \cdot \left( T_Z \over T \right)^2 $$
Úloha 7.6
Trigonometrická paralaxa Síria (tj. Úhel, pod nímž je ze Síria vidět poloměr trajektorie Země) je 0,378''. S použitím číselných údajů na obrázku vyjádřete co nejpřesněji hmotnost dvojhvězdy Síria v jednotkách Slunce.
Mé řešení:
Z obrázku zjistíme, že oběžná doba Síria b je odhadem 45 let a hlavní poloosa jeho trajektorie je asi 7,3''. Využijeme vztahu nabytého v předchozí úloze a určíme hmotnost obou hvězd v násobcích hmotnosti Slunce. $$ m_a + m_b = \left( R \over R_{ZS} \right)^3 \cdot \left( T_Z \over T \right)^2 M_S = \left( 7,3'' \over 0,378'' \right)^3 \cdot \left( 1r \over 45r \right)^2 M_S = 3,6 M_S $$
Úloha 7.7
Excentricita zemské trajektorie je 0,0167. Najděte poměr maximální a minimální orbitální rychlosti Země.
Mé řešení:
Podle 2. Keplerova zákona platí $ v_{max} r_p = v_{min} r_a $. Z toho už snadno dostaneme hledaný poměr orbitálních rychlostí. $$ {v_{max} \over v_{min}} = {r_a \over r_p } = {a(1+e) \over a(1-e)} = 1,033967 $$
Úloha 7.8
Zatím poslední návrat Halleyovy komety připadl na rok 1986. Bylo to po sedmé od roku 1456, kdy se vylekaní lidé modlili v kostelích za spásu před ďáblem, Turkem a kometou. Když Halleyova kometa procházela periheliem 19. dubna 1910, byla naměřena její vzdálenost od Slunce 0,6 AU.
- Jak daleko je Halleyova kometa od Slunce v afeliu?
- Jaký je poměr její největší a nejmenší orbitální rycholsti?
Mé řešení:
- Ze zadání jsme zjistili oběžnou dobu Halleyovy komety, tj. 76 let. Můžeme tedy použít 3. Keplerovův zákon a zjistit velkou poloosu trajektorie komety, od jejíž dvojnásobku odečteme vzdálenost komety v periheliu a vyloupne se vzdálenost v afeliu.
$$ r_a = 2a - r_p = 2 \sqrt[3]{T_H^2 a_Z^3 \over T_Z^2} - r_p = 35,2844 AU $$
Úloha 7.9
Jak lze určit hmotnost Měsíce?
Mé řešení:
Třeba bychom ji mohli určit, pokuď bychom měli nějáké údaje nějáké umělé družici. My ale použijeme vztah, který jsme už odvodili dříve $$ M_M + M_Z = {4 \pi^2 R_ZM^3 \over \kappa T_M^2} \enspace, \quad M_M = {4 \pi^2 R_ZM^3 \over \kappa T_M^2} - M_Z = 7,24 \cdot 10^{22} kg $$
Úloha 7.10
Poloměr Země je 6 378 km, Měsíce 1 378 km a jejich hmotnosti jsou v poměru 8,1:3,1. Určete zrychlení volného pádu na Měsíci, je-li na Zemi rovno 9,81 m·s-1.
Mé řešení:
Z Newtonova gravitačního zákona samozřejmě vyplývají rovnice $$ g_Z = \kappa {M_Z \over R_Z^2} \enspace, \quad g_M = \kappa {M_M \over R_M^2} $$ Zbývá pouze vyjádřit z první rovnice $ \kappa $ a dosadit do druhé rovnice. $$ g_M = {g_Z R_Z^2 \over R_M^2 } \cdot {M_M \over M_Z} = 1,67 m \cdot s^{-1} $$
Úloha 7.11
S jakou experimentální přesností bychom museli změřit tíhové zrychlení $ g $, abychom mohli pozorovat denní kolísání této veličiny způsobené přitažlivostí Měsíce? Pro jednoduchost budeme předpokládat, že zeměpisná poloha laboratoře, v niž provádíme měření, je taková, že Měsíc nad ní prochází v zenitu a pod ní v nadiru. Vliv slapů zanedbejte.
Mé řešení:
K tomu, abychom správně vyřešili úlohu potřebujeme znát změnu gravitačního zrychlení během dne a normální gravitační zrychlení. Změnu spočteme jako rozdíl minima a maxima zrychlení, tedy $$ \Delta g = g_1 - g_2 = 2 \cdot \kappa {M_M \over R_{ZM}^2} $$ No a poměr poměr změny zrychlení a samotného tíhového zrychlení určíme jako $$ {\Delta g \over g} = 2 \cdot {M_M \over M_Z} \cdot \left(R_Z \over R_{ZM} \right)^2 = 2 \cdot 10^{-4} $$ Z toho plyne, že musíme měřit s přesností na deseti tisíciny!
Tweet
Komentáře k článku
Článek bohužel ještě nemá žádné komentáře.