Nejčtenější:

Štítky článků:

Archiv:

✕

Načítám ...

Zachování energie

Řešení příkladů z Feynmanových přednášek

Čtvrtá kapitola prvního dílu. Ve všech příkladech a v celé této kapitole nás Feynman obeznámí s fíglem virtuálního posunutí a s principy zákonu zachování energie. Šikovně posuneme jednou částí soustavy a sledujeme změny. Z toho odvodíme přítomné vztahy.

Úloha 4.1

Závaží o hmotnosti $ m = 50 kg $ je zavěšeno uprostřed drátu $ ABC $, jak je vidět na obrázku; $ AC = CB = 5 m $, $ AB = 5 \sqrt{2} m $. Určete napěťové síly dráty $ T_{1} $ a $ T_{2} $ .

Mé řešení:

Hned ze zadání je jasně vidět, že $ \angle ABC = 90 ° $, protože $ AB = 5 \sqrt{2} m $ a  $ AC = CB $. Po prodloužení AC dostaneme: $$ T \cdot \Delta AC = { mg \cdot \Delta AC \over \sqrt{2}} \enspace, \quad T = {mg \over \sqrt{2}} = 350 N $$ Napěťové síly $ T_{1} a T_{2} $ jsou shodné (z rovnostrannéhu trojúhelníku) a mají velikost $ 350 N $.

Úloha 4.2

Žebřík dlouhý $ 3 m $ je opřen šikmo o hladkou svislou stěnu. Na horním konci žebříku jsou upevněny válečky (viz obrázek). Žebřík váží $ 12 kg $ a ve vzdálenosti $ 0,75 m $ od jeho horního konce visí závaží o hmotnosti $ 24 kg $. Určete sílu, kterou válečky tlačí na stěnu a vodorovnou a svislou složku síly, kterou žebřík působí na zem.

Mé řešení:

Síly působící v horizontálním směru na stěnu a na zem označíme $ F_{1} $ a $ F_{2} $, sílu působící vertikálně na zem $ F_{3} $. Hmotnost žebříku nazveme $ M $ a hmotnost závaží $ m $, odchylku žebříku od horizontální roviny $ \alpha $. Při velmi malém svislém posunutí (celý žebřík virtuálně nadzdvihneme), dostaneme: $$ F_{3} \cdot \Delta h = (M + m) \cdot g \cdot \Delta h \enspace, \quad F_{3} = (M + m) \cdot g \enspace, $$ kde $ M $ je hmotnost žebříku a $ m $ hmotnost závaží. Vyčíslením dostaneme $ F_{3} = 360 N $.
Pokuď posuneme žebřík ve vodorovném směru, zjistíme, že velikosti sil $ F_{1} $ a $ F_{2} $ se sobě rovnají. Nyní lehce nadzdvihneme žebřík od stěny o úhel $ \alpha $. Nyní si označíme $ \Delta x $ vzdálenost, o kterou jsme odtlačili žebřík od stěny, $ h $ výšku, o kterou se nadzdvihl a $ F $ horizontální sílu, která konala práci. Musí tedy platit $ F \cdot \Delta x = m_{c} g h $. A z podobných trojúhelníků a rozložení závaží na žebříku dostaneme: $$ F = m_{c} g {h \over \Delta x} = m_{c} g \cot \alpha = {M+{3 \over 4}m \over 2} \cdot g \cdot \cot \alpha = 175N $$ Velikost sil $ F_{1} $ a $ F_{2} $ je tedy $ 175 N $ a velikost síly $ F_{3} $ je $ 360 N $.

Úloha 4.3

Zvedací zařízení je tvořeno homogenní tyčí délky $ l $ a hmotnosti $ M $, která je svým dolním koncem kloubově spojena se svislou stěnou. Ve vzdálenosti x od dolního konce tyče je upevněn vodorovný napjatý drát, který přidržuje tyč pod úhlem $ \theta $ ke stěně. Na horním konci tyče visí závaží o hmotnosti $ m $. Určete sílu, která napíná vodorovný drát.

Mé řešení:

Řešení je podobné jako v předchozím příkladě. Pouze jsou pozměněny podobné trojúhelníky a rozložení hmotnosti zvedacího zařízení. Stejným posunutím jako v předchozím případě dostaneme rovnici $$ F \cdot \Delta x = ({l \over x} m + {l \over 2x} M) \cdot g h \enspace, \quad F = {l \over x} (M + {m \over 2}) \cdot g \tan \theta $$

Úloha 4.4

Konstrukce je složena z lehkých hliníkových tyčí délky $ l $ a hmotnosti $ M $, jejichž konce jsou kloubově spojeny. V bodě $ C $ se konstrukce opírá o váleček, který se může pohybovat po hladké rovině. Při svařování se tyč $ AB $ zahřívá a prodlužuje o délku $ x $. V důsledku toho se závaží o hmotnosti $ m $ posune ve svislém směru o vzdálenost $ y $ (viz obrázek). Posune se závaží nahoru nebo dolů? Jaká síla bude působit na tyč $ AB $? Bude ji roztahovat nebo stlačovat?

Mé řešení:

Při podrobném prostudování nákresu je zřejmé, že závaží klesne. V zadání je uvedené, že závaží se posune o délku $ y $ a $ AB $ se prodlouží o $ x $. Tedy $$ F \cdot x = mgy \enspace, \quad F = { mgy \over x } $$

Úloha 4.5

Vozík je udržován na nakloněné rovině závažím o hmotnosti $ m $, které je zavěšeno, jak vidíme na obrázku. Tření všech částí můžeme zanedbat. Určete hmotnost vozíku $ M $.

Mé řešení:

Výšku nakloněné roviny si označíme $ h $ a její délku třeba $ d $. Ze zákonu zachování energie je jasné, že platí: $ hM = 4 \cdot d m $ (čtyřnásobek kvůli volným kladkám). Úpravou dostaneme: $$ M = {4m \over \sin \theta} $$

Úloha 4.6

Cívka má hmotnost $ m $, její velký a malý poloměr jsou rovny $ R $ a $ r $. Pomocí vlákna navinutého na části cívky menšího poloměru je cívka zavěšena na nehybném trámci. Na vlákně navinutém na části o větším poloměru visí závaží o hmotnosti $ M $ (viz obrázek). Jaká musí být hmotnost závaží, aby cívka byla v rovnováze?

Mé řešení:

Při mrňavém pootočení cívky (označíme $ \Delta r $) dojde k poklesu závaží o $ \Delta R - \Delta r $. A před očima se nám právě vyloupla rovnice $ rm = (R-r)M $, ze které vyjádřime $$ M = {rm \over (R-r)} $$

Úloha 4.7

U diferenciálního kladkostroje znázorněného na obrázku je použit řetěz, který má $ N $ článků na jeden metr. Pevná kladka je tvořena dvěma spojenými ozubenými koly, z nichž větší má $ n $ zubů, menší $ n-1 $ zubů; na tyto zuby se navlékají články řetězu. V soustavě působí takové tření, že síly potřebné ke zvedání a ke spouštění břemene o hmotnosti $ M $ se liší $ R $–násobně. Určete tyto síly za předpokladu, že tření nezávisí na směru pohybu.

Mé řešení:

Přímo v zadání je $ F_{spouštění} = F_{zvedání} / R $. Nyní budeme uvažovat pootočení o jednu jedinou otočku a vytvoříme rovnici. Práce vykonaná zvedací silou musí být rovna přírůstku potenciální energie závaží, tedy $ F_{zvedání}Rn - F_{zvedání}(n-1) = MgR [n - (n-1)] $. Úpravou dostaneme $$ F_{zvedání} = {MgR \over [n(R-1)+1]} $$

Úloha 4.8

Na hladkém přímém kuželi výšky $ h $ a kruhové podstavy poloměru $ r $ je navlečena smyčka z těžkého ohebného řetězu o hmotnosti $ M $. Řetěz je v klidu ve vodorovné rovině, osa kužele je svislá. Určete napěťovou sílu řetězu.

Mé řešení:

Při virtuálním poklesu řetězu dojde k jeho prodloužení a napínací síla vykoná práci. Tato práce musí být rovna změně potenciální energie řetězu, čili $ Mgh = 2 \pi r \cdot F $. Sílu vyjádřime jako: $$ F = {Mgh \over 2 \pi r} $$

Úloha 4.9

Pohiblivý rám $ AA´BB´ $ je upevněn ve svislé rovině v kloubových ložiscích $ P $ a $ P´ $ podle obrázku. Tření všech pohyblivých částí je zanedbatelně malé. Všechny rozměry pevných úhelníku $ AA´CD $ a $ B´BGH $ jsou stejné.
Dále $ AP = A´P´ = PB/2 = P´B´/2, CD = GH = AP/2 $. Protiváha závaží m upevněného v bodě $ C $ v nepřítomnosti závaží $ M_{1} $ a $ M_{2} $ udržuje rám v rovnováze. Zavěsíme-li v bodě $ D $ závaží $ M_{1} $ o hmotnosti $ 0,5 kg $, rovnováha se poruší. Jaké závaží $ M_{2} $ musíme zavěsit do bodu $ H $, aby se rovnováha opět obnovila?

Mé řešení:

Je jasné, že $ M_{1}gh = 2 \cdot M_{2}gh $. Proto $ M_{2} = {1 \over 2}M_{1} $. Vyčíslením dostaneme $ M_{2} = 0,25 kg $.

Úloha 4.10

Dvě nakloněné dokonale hladké roviny, které svírají s vodorovnou rovinou úhly $ \theta $ a $ \phi $ tvoří nehybný klín. Na těchto rovinách leží hranoly o stejné hmotnosti spojené vláknem přes kladku podle obrázku. Jakou rychlost budou mít hranoly, projdou-li od začátku pohybu vzdálenost $ d $?

Mé řešení:

V celé soustavě ubyde potenciální energie a naopak přibyde kinetická energie, kterou už snadno určíme. Platí tedy $ mgh_{1}-mgh_{2} = mv^2 $, kde $ h_{1} = d\sin\phi $ a $ h_{2} = d \sin\theta $. Z toho snadno vyjádříme rychlost $ v = \sqrt{gd(\sin\phi - \sin\theta)} $.

Úloha 4.11

Řešte předchozí úlohu za předpokladu, že hmotnosti hranolů jsou různé ($ M_{1} > M_{2} $) a úhly, které svírají nakloněné roviny s vodorovnou rovinou jsou stejné.

Mé řešení:

Je to stejné jako v předchozím příkladě. Pro energii soustavy platí $ M_{1}gh-M_{2}gh = {1 \over 2}(M_{1} + M_{2})v^2 $, kde $ h = d\sin\theta $. Poté vyjádřime rychlost: $$ v = \sqrt{{ (M_{1}-M_{2}) \cdot gd \sin\theta \over M_{1}+M_{2} }} $$

Úloha 4.12

V nádobě konstantního vodorovného průřezu $ S $ je ideální kapalina hustoty $ \rho $. Kapalina vytéká malým otvorem průřezu s v hloubce $ h $. Jakou rychlostí kapalina z nádoby vytéka?

Mé řešení:

Potenciální a kinetická energie vody v nádobě musí být rovna kinetické energii vytékající vody. Zároveň se musí být stejný průtok v průřezu nádoby $ S $ a průřezu dírky $ s $. Pro energie platí $ {1 \over 2}mu^2 + mgh = {1 \over 2}mv^2 $. Z rovnice vyloučíme $ m $ a rychlost $ u $ vyjádříme pomocí rychlosti $ v $ a průřezů $ S $ a $ s $. Vyjádřením rychlosti dostaneme: $$ v = \sqrt{{2gh \over 1-({s \over S})^2}} $$

Úloha 4.13

Z řešení předchozích úloh je zřejmé, že problém statické rovnováhy soustav bez tření lze pomocí principu virtuálních posunutí převést na čistě geometrickou úlohu: kam se posune jeden bod, známe-li malé posunutí jiného. Často můžeme na tuto otázku odpovědět, použijeme-li následující vlastnosti trojúhelníku.

1. Svírají-li strany trojúhelníka o neměnných délkách $ d_{1} $ a $ d_{2} $ úhel $ \alpha $, jenž se změní o malou hodnotu $ \Delta \alpha $, změní se délka protější strany $ l $ o $ \Delta l = {d_{1} \cdot d_{2} \over l} \cdot \sin \alpha \cdot \Delta \alpha $
2. Změní-li se délky stran pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami $ a $, $ b $ a přeponou $ c $ o $ \Delta a $, $ \Delta b $ a $ \Delta c $, bude pro tyto změny platit vztah $ a \Delta a + b \Delta b = c \Delta c $

Můžete to dokázat?

Mé řešení:

1. Z věty kosinové dostaneme: $$ l^2 = d_{1}^2 + d_{2}^2 - 2 \cdot d_{1} d_{2} \cos \alpha $$$$ (l+\Delta l)^2 = d_{1}^2 + d_{2}^2 - 2 \cdot d_{1} d_{2} \cos (\alpha + \Delta \alpha) $$ Ze součtového vzorce (viz MFCHT) pro $ \cos(\alpha + \Delta \alpha) $: $$ l^2 + 2l\Delta l + \Delta l^2 = d_{1}^2 + d_{2}^2 - 2 d_{1}d_{2}\cos\alpha\cos\Delta\alpha + 2d_{1}d_{2}\sin\alpha\sin\Delta\alpha $$Zároveň můžeme říct, že $ \Delta l^2 \approx 0 $, $ \cos\Delta\alpha \approx 1 $ a $ \sin\Delta\alpha \approx \Delta\alpha $. Nyní můžeme vytvořit druhou rovnici s našimi novými závěry:$$ l^2 + 2l\Delta l = d_{1}^2 + d_{2}^2 - 2 d_{1}d_{2}\cos\alpha + 2d_{1}d_{2}\sin\alpha\sin \cdot \Delta\alpha $$ Tyto dvě poslední získané rovnice od sebe jednoduše odečteme a objeví se námhledaný důkaz $$ 2l\Delta l = 2d_{1}d_{2}\sin\alpha \cdot \Delta\alpha $$ $$ \Delta l = {d_{1} \cdot d_{2} \over l} \cdot \sin \alpha \cdot \Delta \alpha $$Což jsme chtěli dokázat.
2. Použijeme Pythagorovu větu. Důkaz nám spadne do klína odečteme-li rovnice vyjadřující vztahy mezi stranami trojúheníku $ c^2 = b^2 + a^2 $ a $ \Delta c^2 = \Delta b^2 + \Delta a^2 $ od rovnice pro strany prodlouženého trojúhelníku $$ \Delta c^2 + 2 \Delta c c + c^2 = \Delta b^2 + 2 \Delta b b + b^2 + \Delta a^2 + 2 \Delta a a + a^2 $$ Jejich rozdílem je $ a \Delta a + b \Delta b = c \Delta c $. Což jsme chtěli dokázat.

Úloha 4.14

Nákladní auto naložené stejnými hladkými kládami zajelo zadními koly do strouhy, takže jeho korba se naklonila a svírá úhel $ \theta $ s vodorovnou rovinou. Při vykládání nákladu zůstaly na korbě poslední čtyři klády v poloze, kterou vidíme na obrázku. Odstraníme-li kládu vyznačenou čárkovaně, zbylé tři klády se při malém zmenšení úhlu $ \theta $ rozvalí. Najděte úhel $ \theta $.

Mé řešení:

Představme si posunutí pravé klády nahoru po nakloněné rovině. Dojde k úbytku potenciální energie vrchní klády a naopak nám přibyde potenciální energie pravé klády. Protože jsou klády stejné, platí, že oč vyjede těžiště jedné klády, musí klesnout těžiště druhé. Ale pozor! Posunutí musí být opravdu malé, jinak se dobereme k nesprávnému výsledku. Najít změnu polohy těžiště pravé klády $ \Delta h $ je snadné – $ \Delta h = \Delta l \sin \theta $, kde $ \Delta l $ je dráha, kterou kláda urazí. Pro změnu polohy vrchní klády najdeme $ \Delta h = \Delta v \cos \theta - {\Delta l \over 2} sin \theta $, kde $ \Delta v $ je změna délky výšky trojúhelníku tvořeného středy klád. Přirovnáme-li tyto dvě rovnice k sobě, získáme tangens našeho úhlu $ \tan \theta = {2\Delta v \over 3 \Delta l} $. Teď využijeme vztah z druhého bodu předchozí úlohy. Pro změny poloh klád dostaneme $ {1 \over 4}\Delta l - {\sqrt{3} \over 2} \Delta v =0 $. Z toho můžeme vyjádřit poměr $ \Delta v \over \Delta l $. Pro úhel $ \theta $ bude platit $$ \tan \theta = {1 \over 3 \sqrt{3}} \enspace, \quad \theta \approx 11° $$

Úloha 4.15

Lehká konstrukce je tvořena vodorovnými a šikmými tyčemi volně spojenými klouby podle obrázku. Délky šikmých a vodorovných tyčí jsou v poměru $ 5:6 $. V bodě $ E $ je zavěšeno závaží o hmotnosti $ m $.

1. Které z tyčí můžeme nahradit ohebnými vazbami?
2. Jakou silou je namáhána tyč $ BD $?

Mé řešení:

1. Při virtuálním odstranění některých z tyčí snadno zříme, které můžeme nahradit. Pružné tyče mohou být pouze tam, kde jsou tyče natahovány a nikoliv smačkávány. Tyče, které mohou být nahrazeny za tyče pružné jsou $ AC $,$ DE $,$ EF $,$ CE $ a $ EG $.
2. Budeme uvažovat virtuální stlačení tyče $ BD $. Při jejím zkrácení vykoná napěťová síla, která na ni působí práci $ W = F \cdot \Delta l $, kde $ \Delta l $ je změna délky tyče. Zároveň poklesne bod $ C $ o $ \Delta h $. Proto se musí rovnat $ F \cdot \Delta l = mg\Delta h $. Nyní odhalíme vztah mezi $ \Delta h $ a $ \Delta l $. Pro zjištění velikosti $ \Delta l $ použijeme vztah z úlohy 4.13.1 a dostaneme $ \Delta l = 4 \cdot \Delta \alpha $ ($ \sin \alpha $ jsme určili pomocí vzorce $ \sin \alpha = 2 \sin {\alpha \over 2} \cos {\alpha \over 2} $). Také víme, že délku $ \Delta h $ můžeme vyjádřit pomocí úhlů při stranách konstrukce a že jejich sousoučet je roven $ \Delta \alpha $. Vyjádříme-li tangensy těchto dvou úhlů pomocí $ \Delta h $ a dosadíme-li výsledek do vztahu $ \Delta l = 4 \cdot \Delta \alpha $, zjistíme, že $ \Delta h = \Delta l $. Proto je napěťová síla tyče BD $ F = mg / 2 $.

Úloha 4.16

Tyč délky $ R $ je složena ze dvou stejně dlouhých částí, z nichž jedna je dvakrát těžší než druhá. Tyč je uvázána na koncích ke dvěma vláknům délky $ R $, jejichž druhé konce jsou upevněny v bodě $ P $. Jaký úhel bude tyč v rovnováze svírat s vodorovnou přímkou?

Mé řešení:

Jediné, co potřebujeme zjistit, je odklon těžiště tyčí od svislé přímky. Protože tyče tvoří rovnoramenný trojúhelník, známe jeho výšku – tj. $ \sqrt{3} \over 2 $. Ještě potřebujeme zjistit v kolikatině celé strany od paty výšky se nachází těžiště tyčí. Je-li jedna tyč dvakrát těžší než druhá, snadno přijdeme na to, že se těžiště nachází v $ 1 \over 12 $ celé tyče. Pak pouze dosadíme a upravíme. Vyjde nám $$ \tan \alpha = {1 \over 6 \sqrt{3}} $$.

Úloha 4.17

Rámeček tvaru pravoúhlého trojúhelníka je zhotoven z pevného drátu a umístěn ve svislé poloze (viz obrázek). Po drátě kloužou bez tření dvě závažíčka o hmotnostech $ m_{1}=100 g $, $ m_{2}=300 g $ spojená vláknem. Určete, jakou silou je napínáno vlákno a jaký svírá úhel se stranou trojúhelníka v rovnovážné poloze.

Mé řešení:

K odhalení skrytých rovnic využijeme dvou virtuálních posunutí. Nejprve posuneme závaží $ m_{1} $ poněkud dolů a bude pozorovat práci napěťové síly a změnu potencální energie. Poté obdobně posuneme závaží $ m_{2} $. Tím dostaneme rovnice $$ T\Delta l_{1} = m_{1} g \Delta d_{1} \sin{30°} \enspace, \quad T\Delta l_{2} = m_{2} g \Delta d_{2} \sin{60°} $$kde $ \Delta d_{1} $ a $ \Delta d_{2} $ jsou změny délek odvěsen pravoúhlého trojúhelníku tvořeného rámečkem a provázkem. Vzpomeňme si na jeden ze vztahů pro trojůhelník z úlohy 13. Díky tomuto vztahu získáme $$ {1 \over 2}m_{1}{l \over d_{1}} = {\sqrt{3} \over 2}m_{2}{l \over d_{2}} $$ Takže $$ \tan \alpha = {d_{2} \over d_{1}} = \sqrt{3}{m_{2} \over m_{1}}\enspace, \quad \alpha \approx 79° $$ Teď bychom měli přijít na kloub napěťové síle. Samozřejmě jste už postřehli, že jsme ji využili výše. Ale protentokrát ji upravíme do hezčího tvaru. Z rovností uvedených výše, ze vztahů v pravoúhlém trojúhelníku a ze sinové a Pythagorovy věty vyvodíme $$ {m_{1} \over \cos \alpha } = {\sqrt{3} m_{2} \over \sin \alpha } \enspace, \quad F={g \over 2}\sqrt{m_{1}^2 + \sqrt{3} m_{2}^2} $$ Napěťová síla má velikost asi $ 2,6 N $ a úhel $ \alpha $ tvořený odvěsnou $ d_{1} $ a přeponou $ l $ svírá zhruba 79°.

napsal Tomáš Nekvinda

Komentáře k článku

Radimoid:

Co představují jednotlivé členy rovnice v řešení 4.7?11. Říjen 2015, 08:43 reagovat

Tomáš Nekvinda:

To kdybych ještě věděl :D14. Říjen 2015, 17:42

Shorty:

Existuju aj nejake podrobnejsie riesenia? Je tu strasne vela preskokov a vela "samozrejmych" uvah a zjednoduseni preskocenych. Kedze nemam az taku zrucnost, stava sa mi, ze nad riesenim stravim celu vecnost a na vacsinu ani nepridem, pripadne to vzdam. Kludne aj niekde inde v inom jazyku. Dakujem23. Srpen 2016, 13:50 reagovat

Tomáš Nekvinda:

Omlouvám se, když na to člověk přijde, tak je to samozřejmé, teď už mi to taky smysl nedává. Tady (v ruštině) je dost řešení http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=35 , ale pozor, hodně jich není správně. Kupříkladu 4.14 z této kapitoly je tam úplně špatně.2. Září 2016, 22:31

Shorty:

Diky, pozriem sa na to. Snad mi to google dobre prelozi. Urcite porovnam s rieseniami a vysledkami v knizke a tu. Budem sa zameriavat hlavne na medziclanky, ktore mi unikli, aby som mohol poskladat kontinualnejsiu retaz az k vysledku. Nechystas sa spravit aj ostatne kapitoly? Este raz dik a klubuk dole pred rieseniami ;)8. Září 2016, 09:58 reagovat

Pan bezejmený:

Podarilo sa mi najst riesenia a dokonca aj prelozit do cestiny. Je to tam pomerne obsiahlo riesene, dokonca aj s obrazkami. https://translate.google.com/translate?hl=en&sl=ru&tl=cs&u=http%3A%2F%2Fwww.all-fizika.com%2Farticle%2Findex.php%3Fid_article%3D20768. Září 2016, 13:24 reagovat

Tomáš Nekvinda:

Jojo, to je ono. I když jsem sem chtěl dát kdysi všechno, už je to pro mě passé. Navíc jsem nikdy ani nedočetl a nedořešil první díl :D8. Září 2016, 14:06

Martin:

Ahoj, řeším příklad 4.2. Bohužel se mi nedaří nelézt zmiňovanou podobnost trojúhelníků. Bylo by možné to nějak rozkreslit? Díky23. Leden 2017, 22:42 reagovat

Tomáš Nekvinda:

Ahoj, ach, musel bych přemýšlet a to je o zkouškovém obtížné :D Možná, že jsem to řešil špatně a žádná tam ani není. Koukni do komentů výše, je tam odkaz na ruské stránky s řešením.24. Leden 2017, 20:18

---

Přidat nový komentář

nebo po přihlášení přes účet sociálních síťí

odhlásit z Facebooku odhlásit z Google+